Miscellanea

Primitive School on the Mapping Class Group

Another activity of the Bridson-Reid laboratory (a part of the Severo Ochoa Laboratories program at ICMAT), we’ve organized a minicourse on the mapping class group to prepare ourselves to the (then) upcoming advanced school on the mapping class group at ICMAT. We mainly followed Farb & Margalit’s primer. You can see the poster for this reading group here

De Picasso a Gromov

Introducción al cubulismo

Us members of the Bridson-Reid laboratory (a part of the Severo Ochoa Laboratories program at ICMAT) are organizing in 2024 a reading group about \(\mathrm{CAT}(0)\) cube complexes, following mainly Henry Wilton’s notes. You can see the poster for this reading group here.

Chistyakov Embeddings

I like to code some stuff from time to time. Stuff I find cool.

My previous page had a long discussion about Chistyakov embeddings, but now I’m too lazy to explain them again. Go check out his awesome paper by yourself and see the awesome pictures. Some really cool embeddings of \(\mathbb{Q}_p\) in \(\mathbb{C}\), really crazy stuff.

I made some python code to generate those images, that was the gist of it. You can find it below.

# -*- coding: utf-8 -*-
"""Vizualização dos Mergulhos de Chistyakov

Henrique Souza
07/08/2020
Programa de Pós-Graduação
Departamento de Matemática
Universidade de Brasília

Este módulo implementa a classe InteiroPAdicoFinito para um elemento de Z_p
contido na imagem canônica de Z, e nos fornece acesso a sua norma, sua 
valoração e seus dígitos em base p.

Ele implementa a função MergulhoDeChistyakov (e sua função auxiliar 
CaraterDeChistyakov) para calcular (até um número finito de passos) os valores
para um InteiroPAdicoFinito da expressão analítica dada no artigo:

Chistyakov, D. V. Fractal geometry for images of continuous embeddings of
p-adic numbers and solenoids into euclidean spaces. Theoretical Mathematics and
Physics, Vol. 109, No. 3, 1996.

Por fim, ele utiliza o pacote PyPlot para gerar uma vizualição da imagem por 
esse mergulho dos numeros naturais menores que ou iguais a uma cota fixa. A
vizualização distingue a imagem das classes laterais de pZ_p e p^2*Z_p pela cor
e pela saturação, respectivamente. Também é possível traçar a imagem de um
segmento inicial do grafo de Cayley de Z pelo mergulho de Chistyakov.
"""

from fractions import Fraction
import math
import cmath
import matplotlib.pyplot as plt
from tqdm import tqdm
import colorsys


class InteiroPAdicoFinito:
    """ Modela o comportamento de inteiro finito dentro de Z_p.

    Seus principais atributos são o primo self.p, o self.inteiro que está sendo
    modelado, sua self.norma em Q_p e sua self.valoração p-ádica.

    A função coordn(n) retorna o valor do n-ésimo dígito na expressão em base p
    do inteiro modelado.
    """

    def __init__(self,i=0,p=2):
        self.p = p
        self.inteiro = i
        self.norma = Fraction()
        if (i != 0): #
            self.norma = Fraction(1)
            while ((i%p) == 0):
                self.norma = self.norma * Fraction(1,p)
                i = i/p
            self.valoracao = -int(math.log(self.norma,p))
        else:
            self.valoracao = cmath.inf
        pass

    def __int__(self):
        return self.inteiro

    def __str__(self):
        return str(self.inteiro)

    def coordn(self,n=0):
        if (n < 0):
            return 0
        if (n == 0):
            return (self.inteiro % self.p) 
        expr = self.inteiro
        for i in range(0,n):
            expr = (expr - (expr%self.p))/self.p
        return int(expr % self.p)

def CaraterDeChistyakov(z,m,n):
    """ Calcula o caráter de Chistyakov para o inteiro p-ádico z com parâmetros
    m e n.
    """
    arg = 0.0
    for k in range(0,m+1):
        arg += float(z.coordn(n-k))/(math.pow(z.p,k))
    return cmath.exp((2.0*cmath.pi* 1j/z.p)*arg)

def MergulhoDeChistyakov(z, m, s,profundidade=100):
    """ Calcula o valor do mergulho de Chistyakov para o inteiro p-adico z com
    parâmetros m e s. O parâmetro profundidade define quão longe nas somas 
    parciais será calculado para fins de obter um valor numérico para a 
    expressão analítica do mergulho de Chistyakov.
    """
    c = 1.0/(1.0 - s)
    if cmath.isfinite(z.valoracao):
        c = (1.0 - pow(s,z.valoracao))/(1.0 - s)
    if cmath.isfinite(z.valoracao):
        for i in range(z.valoracao,z.valoracao+profundidade):
            c += CaraterDeChistyakov(z,m,i)*pow(s,i)
    return c

def VizualizarMergulhoDeChistyakov(n,m,s,profundidade=100,p=2,linhas=0,
        arquivo='mergulho.png',res=(3000,3000),dpi=300,colorido=True):
    """ Gera uma vizualização do Mergulho de Chistyakov para os inteiros
    p-ádicos finitos menores que ou iguais a n com parâmetros m , s e 
    profundidade. Se o parâmetro linhas for não nulo, a imagem conterá o 
    segmento inicial de tamanho "linhas" do grafo de Cayley de Z.
    arquivo determina o nome do arquivo, res é a sua resolução em pixels, dpi
    é a qualidade da imagem final e colorido controla se será usado um código
    de cores para representar as classes laterais de pZ_p e p^2Z_p ou se a 
    imagem final será apresentada em preto e branco.
    """
    x = []
    y = []
    cores = []
    barra = tqdm(total=n+1)
    plt.clf()
    plt.gcf().set_size_inches((res[0]/dpi,res[1]/dpi))
    for i in range(0,n+1):
        iPadico = InteiroPAdicoFinito(i,p)
        c = MergulhoDeChistyakov(iPadico,m,s,profundidade)
        x.append(c.real)
        y.append(c.imag)
        alfa = (float(i)/(n+1))
        if (i == 0): alfa = 1.0
        if (colorido):
            cor = colorsys.hls_to_rgb(iPadico.coordn()/p,0.5,
                    (p-iPadico.coordn(1))/p) + (alfa,)
        else:
            cor = (0,0,0,alfa)
        cores.append(cor)
        barra.update(1)
    barra.close()
    plt.scatter(x,y,color=cores,marker=".")
    if (linhas != 0):
        for i in range(0,linhas+1):
            plt.annotate(i,(x[i]+0.02,y[i]+0.02),fontweight='bold',
                    fontsize=18)
        plt.plot(x[0:(linhas+1)],y[0:(linhas + 1)],marker="o",linestyle=':',
                color='black',alpha=1)
    plt.axis('off')
    plt.tight_layout()
    plt.savefig(arquivo,dpi=300)
    plt.close('all')